659.999.998.998 e 599.999.999.787 sono primi tra loro (due numeri coprimi)? Quando i due numeri sono primi tra loro?

I numeri 659.999.998.998 e 599.999.999.787 sono primi tra loro (coprimi)? La relazione con il loro massimo comune divisore, MCD

659.999.998.998 e 599.999.999.787 non sono primi tra loro (coprimi)... se:

  • Se c'è almeno un numero diverso da 1 che divide i due numeri senza resto. O...
  • O, in altre parole - se il loro massimo comune divisore, mcd, non è 1.

Calcola il massimo comune divisore, mcd, dei numeri

Metodo 1. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi):

La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.


659.999.998.998 = 2 × 32 × 432 × 19.830.539
659.999.998.998 non è un numero primo, è un numero composto.

599.999.999.787 = 32 × 66.666.666.643
599.999.999.787 non è un numero primo, è un numero composto.




Calcola il massimo comune divisore, mcd:

Moltiplica tutti i fattori primi comuni dei due numeri, presi dai loro più piccoli esponenti.

mcd (659.999.998.998; 599.999.999.787) = 32 = 9 ≠ 1



I numeri 659.999.998.998 e 599.999.999.787 sono primi tra loro (coprimi, relativamente primi)? No.
I due numeri hanno fattori primi comuni.
mcd (599.999.999.787; 659.999.998.998) = 9 ≠ 1
Scorrere verso il basso per il secondo metodo...

Metodo 2. L'algoritmo di Euclide:

  • Questo algoritmo prevede il processo di divisione dei numeri e calcolo dei resti.
  • 'a' e 'b' sono i due numeri naturali, 'a' >= 'b'.
  • Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto dell'operazione, 'r'.
  • Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il mcd di 'a' e 'b'.
  • Altrimenti: sostituire ('a' di 'b') e ('b' di 'r'). Torna al passaggio sopra.

  • » L'algoritmo di Euclide



Passaggio 1. Dividi il numero più grande per quello più piccolo:
659.999.998.998 : 599.999.999.787 = 1 + 59.999.999.211
Passaggio 2. Dividi il numero più piccolo per il resto dell'operazione precedente:
599.999.999.787 : 59.999.999.211 = 10 + 7.677
Passaggio 3. Dividi il resto del passaggio 1 per il resto del passaggio 2:
59.999.999.211 : 7.677 = 7.815.552 + 6.507
Passaggio 4. Dividi il resto del passaggio 2 per il resto del passaggio 3:
7.677 : 6.507 = 1 + 1.170
Passaggio 5. Dividi il resto del passaggio 3 per il resto del passaggio 4:
6.507 : 1.170 = 5 + 657
Passaggio 6. Dividi il resto del passaggio 4 per il resto del passaggio 5:
1.170 : 657 = 1 + 513
Passaggio 7. Dividi il resto del passaggio 5 per il resto del passaggio 6:
657 : 513 = 1 + 144
Passaggio 8. Dividi il resto del passaggio 6 per il resto del passaggio 7:
513 : 144 = 3 + 81
Passaggio 9. Dividi il resto del passaggio 7 per il resto del passaggio 8:
144 : 81 = 1 + 63
Passaggio 10. Dividi il resto del passaggio 8 per il resto del passaggio 9:
81 : 63 = 1 + 18
Passaggio 11. Dividi il resto del passaggio 9 per il resto del passaggio 10:
63 : 18 = 3 + 9
Passaggio 12. Dividi il resto del passaggio 10 per il resto del passaggio 11:
18 : 9 = 2 + 0
A questo punto, il resto è zero, quindi ci fermiamo:
9 è il numero che stavamo cercando, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.

mcd (659.999.998.998; 599.999.999.787) = 9 ≠ 1


I numeri 659.999.998.998 e 599.999.999.787 sono primi tra loro (coprimi, relativamente primi)? No.
mcd (599.999.999.787; 659.999.998.998) = 9 ≠ 1


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Numeri primi tra loro (chiamati anche: numeri coprimi, relativamente primi)

  • Si dice che i numeri "a" e "b" sono primi tra loro, coprimi o relativamente primi se l'unico intero positivo che li divide entrambi è 1.
  • I numeri primi tra loro sono coppie di (almeno due) numeri che non hanno nessun altro divisore comune diverso da 1.
  • Quando l'unico comun divisore è 1, questo equivale anche al loro massimo comune divisore 1.
  • Esempi di coppie di numeri primi tra loro:
  • I numeri che sono primi tra loro non sono necessariamente numeri primi stessi, ad esempio 4 e 9 - questi due numeri non sono primi, sono numeri composti, poiché 4 = 2 × 2 = 22 and 9 = 3 × 3 = 32. Ma il mcd (4, 9) = 1, quindi sono coprimi, o primi tra loro, o relativamente primi.
  • A volte, i numeri primi tra loro in una coppia sono numeri primi stessi, ad esempio (3 e 5) o (7 e 11), (13 e 23).
  • Altre volte, i numeri che sono primi tra loro possono o non possono essere primi, ad esempio (5 e 6), (7 e 12), (15 e 23).
  • Esempi di coppie di numeri che non sono primi tra loro:
  • 16 e 24 non sono primi tra loro, poiché sono entrambi divisibili per 1, 2, 4 e 8 (1, 2, 4 e 8 sono i loro divisori comuni).
  • 6 e 10 non sono primi tra loro, poiché sono entrambi divisibili per 1 e 2.
  • Alcune proprietà dei numeri coprimi:
  • Il massimo comune divisore di due numeri coprimi è sempre 1.
  • Il minimo comune multiplo, mcm, di due coprimi è sempre il loro prodotto: mcm (a, b) = a × b.
  • I numeri 1 e -1 sono gli unici interi che sono coprimi con ogni intero, ad esempio (1 e 2), (1 e 3), (1 e 4), (1 e 5), (1 e 6) e così via, sono tutte coppie di numeri primi tra loro poiché il loro massimo comune divisore è 1.
  • I numeri 1 e -1 sono gli unici interi che sono coprimi a 0.
  • Due numeri primi qualsiasi sono sempre coprimi, ad esempio (2 e 3), (3 e 5), (5 e 7) e così via.
  • Due numeri consecutivi qualsiasi sono coprimi, ad esempio (1 e 2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e 5), (5 e 6), (6 e 7), (7 e 8) , (8 e 9), (9 e 10) e così via.
  • La somma di due numeri coprimi, a + b, è sempre coprimi con il loro prodotto, a × b. Ad esempio, 7 e 10 sono numeri coprimi, 7 + 10 = 17 è coprimi con 7 × 10 = 70. Un altro esempio, 9 e 11 sono coprimi, e la loro somma, 9 + 11 = 20 è coprime al loro prodotto, 9 × 11 = 99.
  • Un modo rapido per determinare se due numeri sono coprimi è dato dall'algoritmo di Euclide: L'algoritmo di Euclide