Come ridurre (semplificare) le frazioni ai minimi termini (alla forma equivalente più semplice, al numeratore e al denominatore più piccoli possibili - fino a quando i due numeri sono primi tra loro): passaggi da seguire ed esempi

• 1. Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) qui: Scomposizione in fattori primi

• 2. Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione, qui: Calcolare il massimo comune divisore dei numeri, mcd
• 3. Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.
• La frazione così ottenuta è detta frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
• Una frazione ridotta ai minimi termini non può più essere ridotta ed è detta frazione irriducibile - il suo numeratore e denominatore sono primi tra loro, sono i più piccoli possibile.
• Il mcd del numeratore e del denominatore di una frazione semplificata ai minimi termini è uguale a 1.

Esempio 1: ridurre la frazione propria ²⁴/₃₂ ai termini minimi.

• Una frazione propria: una frazione in cui il denominatore è maggiore del numeratore. Esempio: ¹/₃, ²/₆, ²⁴/₃₂
• Una frazione impropria: una frazione in cui il denominatore è minore del numeratore e il numeratore non è un multiplo del denominatore. Esempio: ³/₂, ⁹/₂, ³⁶/₃₄
• Una frazione apparente: una frazione in cui 1) il numeratore è maggiore o uguale al denominatore e 2) il numeratore è un multiplo del denominatore. Esempio: ³/₃, ⁹/₃, ³⁶/₉

• 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

• Il numeratore della frazione è 24, la sua scomposizione in fattori primi è:
  24 = 2³ × 3.
• Il denominatore della frazione è 32, la sua scomposizione in fattori primi è: 32 = 2⁵.

• 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

• Il massimo comun divisore, mcd (24; 32), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
• mcd (24; 32) = (2³ × 3; 2⁵) = 2³ = 8.

• 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

• Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
• ²⁴/₃₂ =

  ---

  ^{(24 : 8)}/_{(32 : 8)} =

  ---

  ^{(23 × 3 : 23)}/_{(2⁵ : 2³)} =

  ---

  ³/₄
• La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini. In questo caso anche questa è una frazione irriducibile (non può più essere ridotta, ha il numeratore e denominatore più piccoli possibili).

Esempio 2: ridurre la frazione propria ¹³⁰/₄₅₅ ai termini minimi.

• 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

• Il numeratore della frazione, 130, la sua scomposizione in fattori primi è:
  130 = 2 × 5 × 13.
• Il denominatore della frazione è 455, la sua scomposizione in fattori primi è:
  455 = 5 × 7 × 13.

• 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

• Il massimo comune divisore, mcd (130; 455), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
• mcd (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65

• 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

• Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
• ¹³⁰/₄₅₅ =

  ---

  ^{(2 × 5 × 13)}/_{(5 × 7 × 13)} =

  ---

  ^{((2 × 5 × 13) : (5 × 13))} / _{((5 × 7 × 13) : (5 × 13))} =

  ---

  ²/₇
• La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.

Esempio 3: riduci la frazione propria ³¹⁵/_1.155, semplificala ai minimi termini.

• 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

• Il numeratore della frazione is 315, la sua scomposizione in fattori primi è:
  315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 3² × 5 × 7
• Il denominatore della frazione è 1.155, la sua scomposizione in fattori primi è:
  1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.

• 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

• Il massimo comune divisore, mcd (315; 1.155), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
• mcd (315; 1.155) = (3² × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105

• 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

• Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
• ³¹⁵/_1.155 =

  ---

  ^{(32 × 5 × 7)}/_{(3 × 5 × 7 × 11)} =

  ---

  ^{((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7))} / _{((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7))} =

  ---

  ³/₁₁
• La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.

Esempio 4: ridurre la frazione impropria ⁴⁵⁵/₁₃₀ ai termini minimi.

• 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

• Il numeratore della frazione, 455, la sua scomposizione in fattori primi è:
  455 = 5 × 7 × 13
• Il denominatore della frazione è 130, la sua scomposizione in fattori primi è:
  130 = 2 × 5 × 13

• 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

• Il massimo comune divisore, mcd (455; 130), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
• mcd (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65

• 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

• Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
• ⁴⁵⁵/₁₃₀ =

  ---

  ^{(5 × 7 × 13)}/_{(2 × 5 × 13)} =

  ---

  ^{((5 × 7 × 13) : (5 × 13))} / _{((2 × 5 × 13) : (5 × 13))} =

  ---

  ⁷/₂
• La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
• Ma c'è di più: qualsiasi frazione impropria può essere scritta come la somma di un intero e una frazione propria.
• Nel nostro caso:
• ⁷/₂ =

  ---

  ^{(2 × 3 + 1)}/₂ =

  ---

  ^{(2 × 3)}/₂ + ¹/₂ =

  ---

  ³/₁ + ¹/₂ =

  ---

  3 + ¹/₂ =

  ---

  3 ¹/₂
• 3 ¹/₂ è chiamato numero misto (frazione mista).

Perché semplificare (ridurre) le frazioni ai minimi termini?

Le operazioni con le frazioni spesso comportano la loro riduzione allo stesso comune denominatore. A volte, sia i numeratori che i denominatori delle frazioni sono numeri grandi. Fare calcoli con numeri così grandi potrebbe essere difficile. Semplificando (riducendo) una frazione, sia il numeratore che il denominatore della frazione vengono ridotti a valori più piccoli, molto più facili da lavorare.

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