Come ridurre (semplificare) le frazioni ai minimi termini (alla forma equivalente più semplice, al numeratore e al denominatore più piccoli possibili - fino a quando i due numeri sono primi tra loro): passaggi da seguire ed esempi

  • 1. Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) qui: ⇒ Scomposizione in fattori primi
  • 2. Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione, qui: ⇒ Calcolare il massimo comune divisore dei numeri, mcd
  • 3. Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.
  • La frazione così ottenuta è detta frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
  • Una frazione ridotta ai minimi termini non può più essere ridotta ed è detta frazione irriducibile - il suo numeratore e denominatore sono primi tra loro, sono i più piccoli possibile.
  • Il mcd del numeratore e del denominatore di una frazione semplificata ai minimi termini è uguale a 1.

Esempio 1: ridurre la frazione propria 24/32 ai termini minimi.

  • Una frazione propria: una frazione in cui il denominatore è maggiore del numeratore. Esempio: 1/3, 2/6, 24/32
  • Una frazione impropria: una frazione in cui il denominatore è minore del numeratore e il numeratore non è un multiplo del denominatore. Esempio: 3/2, 9/2, 36/34
  • Una frazione apparente: una frazione in cui 1) il numeratore è maggiore o uguale al denominatore e 2) il numeratore è un multiplo del denominatore. Esempio: 3/3, 9/3, 36/9
  • 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

  • Il numeratore della frazione è 24, la sua scomposizione in fattori primi è:
    24 = 23 × 3.
  • Il denominatore della frazione è 32, la sua scomposizione in fattori primi è: 32 = 25.
  • 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

  • Il massimo comun divisore, mcd (24; 32), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
  • mcd (24; 32) = (23 × 3; 25) = 23 = 8.
  • 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

  • Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
  • 24/32 =
    (24 : 8)/(32 : 8) =
    (23 × 3 : 23)/(25 : 23) =
    3/4
  • La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini. In questo caso anche questa è una frazione irriducibile (non può più essere ridotta, ha il numeratore e denominatore più piccoli possibili).

Esempio 2: ridurre la frazione propria 130/455 ai termini minimi.

  • 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

  • Il numeratore della frazione, 130, la sua scomposizione in fattori primi è:
    130 = 2 × 5 × 13.
  • Il denominatore della frazione è 455, la sua scomposizione in fattori primi è:
    455 = 5 × 7 × 13.
  • 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

  • Il massimo comune divisore, mcd (130; 455), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
  • mcd (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65
  • 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

  • Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
  • 130/455 =
    (2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
    ((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) =
    2/7
  • La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.

Esempio 3: riduci la frazione propria 315/1.155, semplificala ai minimi termini.

  • 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

  • Il numeratore della frazione is 315, la sua scomposizione in fattori primi è:
    315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7
  • Il denominatore della frazione è 1.155, la sua scomposizione in fattori primi è:
    1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.
  • 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

  • Il massimo comune divisore, mcd (315; 1.155), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
  • mcd (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
  • 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

  • Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
  • 315/1.155 =
    (32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
    ((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
    3/11
  • La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.

Esempio 4: ridurre la frazione impropria 455/130 ai termini minimi.

  • 1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.

  • Il numeratore della frazione, 455, la sua scomposizione in fattori primi è:
    455 = 5 × 7 × 13
  • Il denominatore della frazione è 130, la sua scomposizione in fattori primi è:
    130 = 2 × 5 × 13
  • 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.

  • Il massimo comune divisore, mcd (455; 130), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
  • mcd (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65
  • 3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.

  • Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
  • 455/130 =
    (5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
    ((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) =
    7/2
  • La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
  • Ma c'è di più: qualsiasi frazione impropria può essere scritta come la somma di un intero e una frazione propria.
  • Nel nostro caso:
  • 7/2 =
    (2 × 3 + 1)/2 =
    (2 × 3)/2 + 1/2 =
    3/1 + 1/2 =
    3 + 1/2 =
    3 1/2
  • 3 1/2 è chiamato numero misto (frazione mista).

Perché semplificare (ridurre) le frazioni ai minimi termini?

Le operazioni con le frazioni spesso comportano la loro riduzione allo stesso comune denominatore. A volte, sia i numeratori che i denominatori delle frazioni sono numeri grandi. Fare calcoli con numeri così grandi potrebbe essere difficile. Semplificando (riducendo) una frazione, sia il numeratore che il denominatore della frazione vengono ridotti a valori più piccoli, molto più facili da lavorare.