- 1. Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) qui: ⇒ Scomposizione in fattori primi
- 2. Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione, qui: ⇒ Calcolare il massimo comune divisore dei numeri, mcd
- 3. Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.
- La frazione così ottenuta è detta frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
- Una frazione ridotta ai minimi termini non può più essere ridotta ed è detta frazione irriducibile - il suo numeratore e denominatore sono primi tra loro, sono i più piccoli possibile.
- Il mcd del numeratore e del denominatore di una frazione semplificata ai minimi termini è uguale a 1.
Esempio 1: ridurre la frazione propria 24/32 ai termini minimi.
- Una frazione propria: una frazione in cui il denominatore è maggiore del numeratore. Esempio: 1/3, 2/6, 24/32
- Una frazione impropria: una frazione in cui il denominatore è minore del numeratore e il numeratore non è un multiplo del denominatore. Esempio: 3/2, 9/2, 36/34
- Una frazione apparente: una frazione in cui 1) il numeratore è maggiore o uguale al denominatore e 2) il numeratore è un multiplo del denominatore. Esempio: 3/3, 9/3, 36/9
1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.
- Il numeratore della frazione è 24, la sua scomposizione in fattori primi è:
24 = 23 × 3. - Il denominatore della frazione è 32, la sua scomposizione in fattori primi è: 32 = 25.
2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.
- Il massimo comun divisore, mcd (24; 32), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
- mcd (24; 32) = (23 × 3; 25) = 23 = 8.
3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.
- Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
- 24/32 =
(24 : 8)/(32 : 8) =
(23 × 3 : 23)/(25 : 23) =
3/4 - La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini. In questo caso anche questa è una frazione irriducibile (non può più essere ridotta, ha il numeratore e denominatore più piccoli possibili).
Esempio 2: ridurre la frazione propria 130/455 ai termini minimi.
1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.
- Il numeratore della frazione, 130, la sua scomposizione in fattori primi è:
130 = 2 × 5 × 13. - Il denominatore della frazione è 455, la sua scomposizione in fattori primi è:
455 = 5 × 7 × 13. 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.
- Il massimo comune divisore, mcd (130; 455), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
- mcd (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65
3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.
- Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
- 130/455 =
(2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) =
2/7 - La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
Esempio 3: riduci la frazione propria 315/1.155, semplificala ai minimi termini.
1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.
- Il numeratore della frazione is 315, la sua scomposizione in fattori primi è:
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - Il denominatore della frazione è 1.155, la sua scomposizione in fattori primi è:
1.155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.
- Il massimo comune divisore, mcd (315; 1.155), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
- mcd (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.
- Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
- 315/1.155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
3/11 - La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
Esempio 4: ridurre la frazione impropria 455/130 ai termini minimi.
1) Esegui la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) sia del numeratore che del denominatore della frazione.
- Il numeratore della frazione, 455, la sua scomposizione in fattori primi è:
455 = 5 × 7 × 13 - Il denominatore della frazione è 130, la sua scomposizione in fattori primi è:
130 = 2 × 5 × 13 2) Calcola il massimo comune divisore, mcd, del numeratore e denominatore della frazione.
- Il massimo comune divisore, mcd (455; 130), si calcola moltiplicando tutti i fattori primi comuni sia del numeratore che del denominatore, presi per i loro esponenti più bassi:
- mcd (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65
3) Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il loro massimo comune divisore, mcd.
- Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono divisi dal massimo comune divisore, mcd:
- 455/130 =
(5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) =
7/2 - La frazione così ottenuta è una frazione ridotta o frazione semplificata ai minimi termini.
- Ma c'è di più: qualsiasi frazione impropria può essere scritta come la somma di un intero e una frazione propria.
- Nel nostro caso:
- 7/2 =
(2 × 3 + 1)/2 =
(2 × 3)/2 + 1/2 =
3/1 + 1/2 =
3 + 1/2 =
3 1/2 - 3 1/2 è chiamato numero misto (frazione mista).
Perché semplificare (ridurre) le frazioni ai minimi termini?
Le operazioni con le frazioni spesso comportano la loro riduzione allo stesso comune denominatore. A volte, sia i numeratori che i denominatori delle frazioni sono numeri grandi. Fare calcoli con numeri così grandi potrebbe essere difficile. Semplificando (riducendo) una frazione, sia il numeratore che il denominatore della frazione vengono ridotti a valori più piccoli, molto più facili da lavorare.