12.345.678.871 e 1.987.654.312 sono primi tra loro (due numeri coprimi)? Quando i due numeri sono primi tra loro?

I numeri 12.345.678.871 e 1.987.654.312 sono primi tra loro (coprimi)? La relazione con il loro massimo comune divisore, MCD

12.345.678.871 e 1.987.654.312 sono primi tra loro (coprimi)... se:

  • Se non esiste un numero diverso da 1 che divide entrambi i numeri senza resto. O...
  • In altre parole - se il loro massimo comune divisore, mcd, è 1.

Calcola il massimo comune divisore, mcd, dei numeri

Metodo 1. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi):

La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.


12.345.678.871 = 71 × 12.347 × 14.083
12.345.678.871 non è un numero primo, è un numero composto.

1.987.654.312 = 23 × 7 × 35.493.827
1.987.654.312 non è un numero primo, è un numero composto.




Calcola il massimo comune divisore, mcd:

Moltiplica tutti i fattori primi comuni dei due numeri, presi dai loro più piccoli esponenti.

Ma i numeri non hanno fattori primi comuni.

mcd (12.345.678.871; 1.987.654.312) = 1



I numeri 12.345.678.871 e 1.987.654.312 sono primi tra loro (coprimi, relativamente primi)? Sì.
I numeri non hanno fattori primi comuni.
mcd (1.987.654.312; 12.345.678.871) = 1
Scorrere verso il basso per il secondo metodo...

Metodo 2. L'algoritmo di Euclide:

  • Questo algoritmo prevede il processo di divisione dei numeri e calcolo dei resti.
  • 'a' e 'b' sono i due numeri naturali, 'a' >= 'b'.
  • Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto dell'operazione, 'r'.
  • Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il mcd di 'a' e 'b'.
  • Altrimenti: sostituire ('a' di 'b') e ('b' di 'r'). Torna al passaggio sopra.

  • » L'algoritmo di Euclide



Passaggio 1. Dividi il numero più grande per quello più piccolo:
12.345.678.871 : 1.987.654.312 = 6 + 419.752.999
Passaggio 2. Dividi il numero più piccolo per il resto dell'operazione precedente:
1.987.654.312 : 419.752.999 = 4 + 308.642.316
Passaggio 3. Dividi il resto del passaggio 1 per il resto del passaggio 2:
419.752.999 : 308.642.316 = 1 + 111.110.683
Passaggio 4. Dividi il resto del passaggio 2 per il resto del passaggio 3:
308.642.316 : 111.110.683 = 2 + 86.420.950
Passaggio 5. Dividi il resto del passaggio 3 per il resto del passaggio 4:
111.110.683 : 86.420.950 = 1 + 24.689.733
Passaggio 6. Dividi il resto del passaggio 4 per il resto del passaggio 5:
86.420.950 : 24.689.733 = 3 + 12.351.751
Passaggio 7. Dividi il resto del passaggio 5 per il resto del passaggio 6:
24.689.733 : 12.351.751 = 1 + 12.337.982
Passaggio 8. Dividi il resto del passaggio 6 per il resto del passaggio 7:
12.351.751 : 12.337.982 = 1 + 13.769
Passaggio 9. Dividi il resto del passaggio 7 per il resto del passaggio 8:
12.337.982 : 13.769 = 896 + 958
Passaggio 10. Dividi il resto del passaggio 8 per il resto del passaggio 9:
13.769 : 958 = 14 + 357
Passaggio 11. Dividi il resto del passaggio 9 per il resto del passaggio 10:
958 : 357 = 2 + 244
Passaggio 12. Dividi il resto del passaggio 10 per il resto del passaggio 11:
357 : 244 = 1 + 113
Passaggio 13. Dividi il resto del passaggio 11 per il resto del passaggio 12:
244 : 113 = 2 + 18
Passaggio 14. Dividi il resto del passaggio 12 per il resto del passaggio 13:
113 : 18 = 6 + 5
Passaggio 15. Dividi il resto del passaggio 13 per il resto del passaggio 14:
18 : 5 = 3 + 3
Passaggio 16. Dividi il resto del passaggio 14 per il resto del passaggio 15:
5 : 3 = 1 + 2
Passaggio 17. Dividi il resto del passaggio 15 per il resto del passaggio 16:
3 : 2 = 1 + 1
Passaggio 18. Dividi il resto del passaggio 16 per il resto del passaggio 17:
2 : 1 = 2 + 0
A questo punto, il resto è zero, quindi ci fermiamo:
1 è il numero che stavamo cercando, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.

mcd (12.345.678.871; 1.987.654.312) = 1


I numeri 12.345.678.871 e 1.987.654.312 sono primi tra loro (coprimi, relativamente primi)? Sì.
mcd (1.987.654.312; 12.345.678.871) = 1


Operazioni simili con numeri primi tra loro:

» 12.345.678.822 e 1.987.654.305 sono primi tra loro (due numeri coprimi)? Quando i due numeri sono primi tra loro?

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Numeri primi tra loro (chiamati anche: numeri coprimi, relativamente primi)

  • Si dice che i numeri "a" e "b" sono primi tra loro, coprimi o relativamente primi se l'unico intero positivo che li divide entrambi è 1.
  • I numeri primi tra loro sono coppie di (almeno due) numeri che non hanno nessun altro divisore comune diverso da 1.
  • Quando l'unico comun divisore è 1, questo equivale anche al loro massimo comune divisore 1.
  • Esempi di coppie di numeri primi tra loro:
  • I numeri che sono primi tra loro non sono necessariamente numeri primi stessi, ad esempio 4 e 9 - questi due numeri non sono primi, sono numeri composti, poiché 4 = 2 × 2 = 22 and 9 = 3 × 3 = 32. Ma il mcd (4, 9) = 1, quindi sono coprimi, o primi tra loro, o relativamente primi.
  • A volte, i numeri primi tra loro in una coppia sono numeri primi stessi, ad esempio (3 e 5) o (7 e 11), (13 e 23).
  • Altre volte, i numeri che sono primi tra loro possono o non possono essere primi, ad esempio (5 e 6), (7 e 12), (15 e 23).
  • Esempi di coppie di numeri che non sono primi tra loro:
  • 16 e 24 non sono primi tra loro, poiché sono entrambi divisibili per 1, 2, 4 e 8 (1, 2, 4 e 8 sono i loro divisori comuni).
  • 6 e 10 non sono primi tra loro, poiché sono entrambi divisibili per 1 e 2.
  • Alcune proprietà dei numeri coprimi:
  • Il massimo comune divisore di due numeri coprimi è sempre 1.
  • Il minimo comune multiplo, mcm, di due coprimi è sempre il loro prodotto: mcm (a, b) = a × b.
  • I numeri 1 e -1 sono gli unici interi che sono coprimi con ogni intero, ad esempio (1 e 2), (1 e 3), (1 e 4), (1 e 5), (1 e 6) e così via, sono tutte coppie di numeri primi tra loro poiché il loro massimo comune divisore è 1.
  • I numeri 1 e -1 sono gli unici interi che sono coprimi a 0.
  • Due numeri primi qualsiasi sono sempre coprimi, ad esempio (2 e 3), (3 e 5), (5 e 7) e così via.
  • Due numeri consecutivi qualsiasi sono coprimi, ad esempio (1 e 2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e 5), (5 e 6), (6 e 7), (7 e 8) , (8 e 9), (9 e 10) e così via.
  • La somma di due numeri coprimi, a + b, è sempre coprimi con il loro prodotto, a × b. Ad esempio, 7 e 10 sono numeri coprimi, 7 + 10 = 17 è coprimi con 7 × 10 = 70. Un altro esempio, 9 e 11 sono coprimi, e la loro somma, 9 + 11 = 20 è coprime al loro prodotto, 9 × 11 = 99.
  • Un modo rapido per determinare se due numeri sono coprimi è dato dall'algoritmo di Euclide: L'algoritmo di Euclide