mcm (5.115; 257) = ?
Nota: Il minimo comune denominatore
Calcolare il minimo comune denominatore di alcune frazioni equivale a calcolare il minimo comune multiplo, MCM, dei loro denominatori.
Metodo 1. La scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi):
La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
5.115 = 3 × 5 × 11 × 31
5.115 non è un numero primo ma composto.
257 è un numero primo, non può essere scomposto in altri fattori primi.
- I numeri naturali che sono divisibili solo per 1 e per se stessi sono detti numeri primi. Un numero primo ha esattamente due divisori: 1 e se stesso.
- Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un altro divisore di 1 e se stesso.
Calcola il minimo comune multiplo, mcm:
Moltiplica tutti i fattori primi dei due numeri. Se ci sono fattori primi comuni, vengono presi solo quelli con gli esponenti più grandi.
Il minimo comune multiplo:
mcm (5.115; 257) = 3 × 5 × 11 × 31 × 257 = 1.314.555
I due numeri non hanno fattori primi in comune
1.314.555 = 5.115 × 257
Metodo 2. L'algoritmo di Euclide:
1. Calcola il massimo comune divisore:
- Questo algoritmo prevede il processo di divisione dei numeri e calcolo dei resti.
- 'a' e 'b' sono i due numeri naturali, 'a' >= 'b'.
- Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto dell'operazione, 'r'.
- Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il mcd di 'a' e 'b'.
- Altrimenti: sostituire ('a' di 'b') e ('b' di 'r'). Torna al passaggio sopra.
Passaggio 1. Dividi il numero più grande per quello più piccolo:
5.115 : 257 = 19 + 232
Passaggio 2. Dividi il numero più piccolo per il resto dell'operazione precedente:
257 : 232 = 1 + 25
Passaggio 3. Dividi il resto del passaggio 1 per il resto del passaggio 2:
232 : 25 = 9 + 7
Passaggio 4. Dividi il resto del passaggio 2 per il resto del passaggio 3:
25 : 7 = 3 + 4
Passaggio 5. Dividi il resto del passaggio 3 per il resto del passaggio 4:
7 : 4 = 1 + 3
Passaggio 6. Dividi il resto del passaggio 4 per il resto del passaggio 5:
4 : 3 = 1 + 1
Passaggio 7. Dividi il resto del passaggio 5 per il resto del passaggio 6:
3 : 1 = 3 + 0
A questo punto, il resto è zero, quindi ci fermiamo:
1 è il numero che stavamo cercando, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.
Il massimo comune divisore:
mcd (5.115; 257) = 1
2. Calcola il minimo comune multiplo:
Il minimo comune multiplo, Formula:
mcm (a; b) = (a × b) / mcd (a; b)
mcm (5.115; 257) =
(5.115 × 257) / mcd (5.115; 257) =
1.314.555 / 1 =
1.314.555
Il minimo comune multiplo:
mcm (5.115; 257) = 1.314.555 = 3 × 5 × 11 × 31 × 257
Perché abbiamo bisogno del minimo comune multiplo?
- Per sommare, sottrarre o confrontare frazioni, devi prima calcolare le frazioni equivalenti che hanno lo stesso denominatore. Questo comune denominatore non è altro che il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni.
- Per definizione, il minimo comune multiplo tra due numeri è il più piccolo numero naturale che è: (1) maggiore di 0 e (2) un multiplo di entrambi i numeri.