MCD tra 4.234 e 14.024: il massimo comune divisore dei numeri

Qual è MCD tra 4.234 e 14.024, il massimo comun divisore dei numeri, usando la scomposizione in fattori primi, la divisibilità dei numeri o l'algoritmo di Euclide

Il massimo comune divisore e come si calcola

Primi passi ed esempi

  • 1. Fattori di un numero:
    • I fattori di un numero sono i numeri che vengono moltiplicati insieme per ottenere quel numero.
    • Esempi: 2 × 3 × 4 = 24; 4 × 9 = 36.
    • In questi casi diciamo che 2, 3 e 4 sono fattori di 24. E 4 e 9 sono fattori di 36.
  • 2. Fattori comuni di più numeri:
    • I fattori che sono comuni a più numeri sono chiamati fattori comuni.
    • Nei nostri esempi 4 è sia un fattore di 24 che di 36.
  • 3. Il massimo comune divisore, MCD, tra due numeri
    • Il massimo comune divisore, MCD, è il più grande di tutti i fattori comuni di quei due numeri.
  • 4. Come si calcola il massimo comune divisore? Fase 1.
    • Nei nostri esempi potremmo essere tentati di dire che 4 è il massimo comune divisore tra 24 e 36. Ma, aspetta. Proviamo a scomporre quei fattori in altri che siano il più piccoli possibile.
    • 24 potrebbe essere scritto come: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
    • 36 potrebbe anche essere scritto come: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
    • Nel nostro esempio, 2 e 3 non possono essere ulteriormente scomposti in altri numeri più piccoli.
  • 5. Numeri primi:
    • 2 e 3 non possono essere scomposti in altri numeri più piccoli perché sono numeri primi. Questa è la vera definizione dei numeri primi:
    • Un numero primo non ha fattori diversi da 1 e se stesso poiché non può essere ulteriormente scomposto in altri numeri più piccoli.
    • Esempi di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 e così via, questa è una lista infinita.
  • 6. Come si calcola il massimo comune divisore? Fase 2.
    • Abbiamo visto che è una buona idea scomporre i numeri in fattori il più piccoli possibile, scrivendoli come prodotto di fattori primi. Questa è la definizione della scomposizione in fattori primi di un numero.
    • La scomposizione in fattori primi di 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
    • La scomposizione in fattori primi di 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
    • Per calcolare il MCD basta scegliere tutti i fattori primi comuni di entrambi i numeri e moltiplicarli:
    • MCD (24 e 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.

Calcola il massimo comune divisore
mcd (4.234; 14.024) = ?

Metodo 1. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi):

La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi


4.234 = 2 × 29 × 73
4.234 non è un numero primo ma composto.

14.024 = 23 × 1.753
14.024 non è un numero primo ma composto.



Calcola il massimo comune divisore:

Moltiplica tutti i fattori primi comuni, presi dai loro più piccoli esponenti.


Il massimo comune divisore,
mcd (4.234; 14.024) = 2
I due numeri hanno fattori primi comuni.
Scorrere verso il basso per il secondo metodo...

Metodo 2. L'algoritmo di Euclide:

  • Questo algoritmo prevede il processo di divisione dei numeri e calcolo dei resti.
  • 'a' e 'b' sono i due numeri naturali, 'a' >= 'b'.
  • Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto dell'operazione, 'r'.
  • Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il mcd di 'a' e 'b'.
  • Altrimenti: sostituire ('a' di 'b') e ('b' di 'r'). Torna al passaggio sopra.

  • » L'algoritmo di Euclide



Passaggio 1. Dividi il numero più grande per quello più piccolo:
14.024 : 4.234 = 3 + 1.322
Passaggio 2. Dividi il numero più piccolo per il resto dell'operazione precedente:
4.234 : 1.322 = 3 + 268
Passaggio 3. Dividi il resto del passaggio 1 per il resto del passaggio 2:
1.322 : 268 = 4 + 250
Passaggio 4. Dividi il resto del passaggio 2 per il resto del passaggio 3:
268 : 250 = 1 + 18
Passaggio 5. Dividi il resto del passaggio 3 per il resto del passaggio 4:
250 : 18 = 13 + 16
Passaggio 6. Dividi il resto del passaggio 4 per il resto del passaggio 5:
18 : 16 = 1 + 2
Passaggio 7. Dividi il resto del passaggio 5 per il resto del passaggio 6:
16 : 2 = 8 + 0
A questo punto, il resto è zero, quindi ci fermiamo:
2 è il numero che stavamo cercando, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.


Il massimo comune divisore:
mcd (4.234; 14.024) = 2
I due numeri hanno fattori primi comuni

Perché dobbiamo calcolare il massimo comune divisore?

Una volta calcolato il massimo comune divisore tra il numeratore e il denominatore di una frazione, diventa molto più facile ridurre (semplificare) la frazione ai termini minimi (il più piccolo numeratore e denominatore possibili, numeri primi tra loro).


Operazioni simili con il calcolo del massimo comune divisore, MCD:

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Il massimo comune divisore, MCD. Cos'è e come calcolarlo.

  • Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
  • Supponiamo che il numero "t" divida il numero "a" ( = quando si divide il numero "a" per "t", il resto è zero).
  • Quando osserviamo la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "t", troviamo che:
  • 1) tutti i fattori primi di "t" sono anche fattori primi di "a"
  • e
  • 2) gli esponenti dei fattori primi di "t" sono uguali o minori degli esponenti dei fattori primi di "a" (vedi * Nota sotto)
  • Ad esempio, il numero 12 è un divisore del numero 60:
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
  • Se il numero "t" è un divisore comune dei numeri "a" e "b", allora:
  • 1) "t" ha solo i fattori primi che sono coinvolti anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "b".
  • e
  • 2) ogni fattore primo di "t" ha gli esponenti più piccoli rispetto ai fattori primi dei numeri "a" e "b".
  • Ad esempio, il numero 12 è il comune divisore dei numeri 48 e 360. Di seguito è riportata la loro fattorizzazione principale:
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Puoi vedere che il numero 12 ha solo i fattori primi che si verificano anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) dei numeri 48 e 360.
  • Puoi vedere sopra che i numeri 48 e 360 contengono diversi divisori comuni: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Di questi, 24 è il massimo comune divisore (mcd) tra 48 e 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, il massimo comune divisore tra numeri 48 e 360, è calcolato come prodotto di tutti i fattori primi comuni dei due numeri, presi dagli esponenti più piccoli (potenze).
  • Se due numeri "a" e "b" non hanno altro fattore comune che 1, mcd (a, b) = 1, allora i numeri "a" e "b" sono chiamati numeri primi tra loro (numeri coprimi, numeri relativamente primi).
  • Se "a" e "b" non sono numeri primi tra loro, allora ogni comune divisore di "a" e "b" è un divisore del massimo comune divisore di "a" e "b".
  • Facciamo un esempio su come calcolare il massimo comune divisore, mcd, tra tre numeri:
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • E un altro esempio:
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • E un altro esempio:
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • mcd (90, 27, 22) = 1 - I tre numeri non hanno fattori primi in comune, sono primi tra loro.