Numeri primi tra loro, coprimi, relativamente primi: 51 e 38?

51 e 38 sono coprimi se non hanno fattori primi comuni, cioè, se il loro massimo comune divisore, mcd, è 1.

coprimi (1.483; 38)? ... (51; 180)?

Calcoliamo il massimo comune divisore.
Due metodi utilizzati di seguito.

Metodo 1. La scomposizione dei numeri in fattori primi:

La scomposizione di un numero in Fattori primi - è trovare i numeri primi che si moltiplicano insieme per formare quel numero.


51 = 3 × 17;
51 non è un numero primo, è un numero composto;


38 = 2 × 19;
38 non è un numero primo, è un numero composto;


* I numeri che si dividono solo con loro stessi e con 1, si chiamano numeri primi. Un numero primo ha solo due divisori: 1 e se stesso.
* Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un altro divisore oltre a 1 e a se stesso.


Calcola massimo comune divisore:

Prendete tutti i fattori primi comuni, dalle potenze più basse.


MA... I due numeri non hanno alcun fattori primi comuni.


mcd (51; 38) = 1;
interi coprimi (primi tra loro, relativamente primi)



Interi coprimi (primi tra loro, relativamente primi) (51; 38)? Sì.
I numeri non hanno alcun fattori primi comuni.
mcd (38; 51) = 1.

>> La scomposizione dei numeri in fattori primi


Metodo 2. Algoritmo di Euclide:

Questo algoritmo prevede l'operazione di divisione e calcolo dei resti.


'a' e 'b' sono i due numeri interi positivi, 'a' >= 'b'.


Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto, 'r'.


Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il MCD di 'a' e 'b'.


Altrimenti: Sostituisci ('a' con 'b') e ('b' con 'r'). Torna al passaggio della divisione, sopra.



L'operazione 1. Divido il numero più grande con il numero più piccolo:
51 : 38 = 1 + 13;
L'operazione 2. Divido il numero più piccolo al resto dell'operazione di sopra:
38 : 13 = 2 + 12;
L'operazione 3. Divido il resto dell'operazione 1 di il resto dell'operazione 2:
13 : 12 = 1 + 1;
L'operazione 4. Divido il resto dell'operazione 2 di il resto dell'operazione 3:
12 : 1 = 12 + 0;
In questo momento, non avendo più resto, ci fermiamo:
1 è il numero cercato, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.


mcd (51; 38) = 1;

Perché la risposta è un divisore dei valori 'a' e 'b' iniziali?

Nota: 'a' : 'b' = 'q' + 'r' è equivalente all'equazione: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', dove 'q' è il quoziente dell'operazione.


Quando il valore finale di 'r' = 0, il valore finale di 'b' è un divisore del valore finale di 'a', poiché 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Torna indietro in ciascuno dei passaggi precedenti e analizza ciascuna equazione, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', e nota che ad ogni passaggio il valore finale di 'b' è un divisore di ogni valore di 'r' e di ogni valore di 'b' e quindi è un divisore di ogni valore di 'a'. Quindi l'ultimo valore di 'b', che è l'ultimo resto diverso da zero, è un divisore dei valori iniziali di 'a' e 'b'.


Perché la risposta è uguale al MCD?

Guarda tutte le equazioni: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. Come abbiamo visto sopra, il valore finale di 'b' è un divisore di tutti i valori di 'a', 'b' e 'r'.


Quindi il valore finale di 'b' deve essere anche un divisore dell'ultimo valore di 'r', quello che è diverso da zero. E il valore finale di 'b' non può essere maggiore dell'ultimo valore di 'r'. Poiché il valore finale di 'b' è uguale all'ultimo valore di 'r', quindi il valore finale di 'b' è il più grande divisore dei valori iniziali di ('a' e 'b'). E per definizione è chiamato il massimo comune divisore dei numeri.


Interi coprimi (primi tra loro, relativamente primi) (51; 38)? Sì.
mcd (38; 51) = 1.

>> Algoritmo di Euclide

Risposta finale:

51 e 38 sono coprimi se non hanno fattori primi comuni, cioè, se il loro massimo comune divisore, mcd, è 1.
Interi coprimi (primi tra loro, relativamente primi) (51; 38)? Sì.
mcd (51; 38) = 1.

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Interi coprimi

Gli interi "a" e "b" si dicono coprimi (o primi tra loro, o relativamente primi) se e solo se essi non hanno nessun divisore comune eccetto 1 e -1 o, in modo equivalente, se il loro massimo comune divisore è 1.

Per esempio, 16 e 17 sono coprimi, ma 16 e 24 non lo sono, perché entrambi sono divisibili anche per 8. 1 è coprimo con ogni numero intero; 0 è coprimo solo a 1 e -1. Un metodo efficiente per determinare se due numeri sono coprimi è fornito dall'algoritmo di Euclide: Algoritmo di Euclide


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