Scomposizione di 6.135 in fattori primi

Controlla se 6.135 è un numero primo o composto. Potrebbe essere scomposto in fattori primi? Qual è la sua scomposizione in fattori primi?

6.135 non è un numero primo ma un numero composto.

La scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) del numero composto 6.135:

~ La scomposizione scritta come prodotto di fattori primi:

6.135 = 3 × 5 × 409

» L'elenco di tutti i divisori del numero 6.135

» I numeri primi fino a 1.000

» I numeri primi fino a 10.000

» Tutti i divisori di un numero, tutti i divisori comuni di due numeri


[1] La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Esempio: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.

[2] Numero primo: un numero naturale divisibile (è diviso senza resto) solo per 1 e per se stesso. Un numero primo ha solo due divisori: 1 e il numero stesso.
Esempi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Il numero primo più piccolo è 2 e non 1. Il numero 1 non è considerato un numero primo. C'è solo un numero primo che è un numero pari: 2. Tutti gli altri numeri primi sono numeri dispari.

[3] Numero composto: un numero naturale che ha almeno un divisore diverso da 1 e da se stesso. Un numero composto ha almeno tre divisori. Un numero composto è anche un numero che non è un numero primo.
Esempi: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
I numeri composti sono costituiti da numeri primi che vengono moltiplicati insieme.

I numeri 0 e 1 non sono considerati né primi né composti.


La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero. Come si fa?

Impariamo facendo un esempio:

Prendi il numero 220 e costruisci la sua scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi)

Abbiamo bisogno della lista dei primi numeri primi, ordinata da 2 fino a, diciamo, 20:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
I numeri primi sono gli elementi costitutivi dei numeri composti.

1. Inizia dividendo 220 per il numero primo più piccolo, 2:
220 : 2 = 110; il resto = 0 ⇒
220 è divisibile per 2 ⇒ 2 è un fattore primo di 220:
220 = 2 × 110.

2. Dividi nuovamente il risultato dell'operazione precedente, 110, per 2:
110 : 2 = 55; il resto = 0 ⇒
110 è divisibile per 2 ⇒ 2 è un fattore primo di 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.

3. Dividere il risultato dell'operazione precedente, 55, per 2, di nuovo:
55 : 2 = 27 + 1; il resto = 1 ⇒
55 non è divisibile per 2.

4. Passa al numero primo successivo, 3. Dividi 55 per 3:
55 : 3 = 18 + 1; il resto = 1 ⇒
55 non è divisibile per 3.

5. Passa al numero primo successivo, 5. Dividi 55 per 5:
55 : 5 = 11; il resto = 0 ⇒
55 è divisibile per 5 ⇒ 5 è un fattore primo di 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.

6. Si noti che il fattore rimanente, 11, è un numero primo, quindi abbiamo già trovato tutti i fattori primi di 220.

Conclusione, la scomposizione in fattori primi di 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Questo può essere scritto in forma condensata, usando esponenti (potenze):
220 = 22 × 5 × 11.

Altre operazioni simili con fattori primi:

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Numeri primi. Numeri composti. La scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) dei numeri composti

  • Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
  • Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di uno o più numeri primi, in modo unico, tranne che per l'ordine dei fattori primi.
  • Il numero 1 non è considerato primo, quindi il numero primo più piccolo è 2.
  • Se il numero 1 fosse considerato un numero primo, la scomposizione in fattori primi del numero 15 potrebbe essere scritta come: 15 = 3 × 5 oppure 15 = 1 × 3 × 5 - queste due rappresentazioni sarebbero considerate come diverse scomposizione in fattori primi di uguale numero, quindi il teorema di cui sopra non sarebbe stato più valido.
  • I numeri naturali che dividono senza resto solo per 1 e se stessi sono detti numeri primi.
  • Esempi di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ecc.
  • Se un numero è primo, non può essere scomposto in altri fattori primi, è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ogni numero naturale è divisibile per 1 e per se stesso.
  • Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un divisore diverso da 1 e il numero stesso.
  • Un numero composto è anche qualsiasi numero naturale maggiore di 1 che non sia un numero primo.
  • Esempi di numeri composti: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, ecc.
  • Un numero primo non può essere scomposto in altri fattori primi. Invece, un numero composto può essere scomposto in fattori primi come mostrato di seguito:
  • Esempio 1: 6 è divisibile per 6, 3, 2 e 1, quindi 6 non è un numero primo, è un numero composto. 6 può essere scritto come prodotto di numeri in diversi modi, come: 6 = 1 × 6, o 6 = 1 × 2 × 3 o 6 = 2 × 3. Ma la sua scomposizione in fattori primi, indipendentemente dall'ordine dei fattori, è sempre: 6 = 2 × 3.
  • Esempio 2: 120 può essere scritto come prodotto di numeri in diversi modi, poiché 120 = 4 × 30 o 120 = 2 × 2 × 2 × 15 o 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. La sua scomposizione in fattori primi è sempre: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - l'ultima forma di scrittura è la forma condensata, con esponenti, della prima forma, quella più lunga.
  • * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
  • Perché è importante conoscere la scomposizione in fattori primi dei numeri?
  • La scomposizione in fattori primi è utile quando si calcola il massimo comune divisore, mcd, dei numeri.
  • L'MCD è necessario per ridurre (semplificare) le frazioni ai minimi termini.
  • La scomposizione in fattori primi è utile quando si calcola il minimo comune multiplo, mcm, di numeri - questo è necessario quando si sommano o sottraggono frazioni, ad esempio...
  • E gli esempi potrebbero continuare (divisibilità dei numeri, calcolo di tutti i divisori di un numero a partire dalla sua scomposizione in fattori primi, ecc.).
  • Esempio di più numeri primi:
  • 181 è divisibile solo per 181 e 1, quindi 181 è un numero primo.
  • 2.341 è divisibile solo per 2.341 e 1, quindi 2.341 è un numero primo.
  • 2.341 è divisibile solo per 2.341 e 1, quindi 2.341 è un numero primo.
  • Questa è la lista di tutti i numeri primi, da 1 fino a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
  • I numeri primi sono usati come blocchi di base quando si costruisce la scomposizione in fattori primi dei numeri composti. Quindi potremmo dire che i numeri primi sono davvero i blocchi di base dei numeri composti.