La scomposizione del numero composto 561.060.828 in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi), scritti come prodotto di numeri primi, con esponenti
La scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) del numero composto 561.060.828
La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Esempio: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
Numero primo: un numero naturale divisibile (è diviso senza resto) solo per 1 e per se stesso. Un numero primo ha solo due divisori: 1 e il numero stesso.
Esempi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Numero composto: un numero naturale che ha almeno un divisore diverso da 1 e da se stesso. Un numero composto ha almeno tre divisori. Un numero composto è anche un numero che non è un numero primo.
Esempi: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
I numeri 0 e 1 non sono considerati né primi né composti.
561.060.828 può essere scritto come prodotto di numeri primi.
Come?
561.060.828 non è un numero primo ma un numero composto.
La scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) del numero composto 561.060.828:
(la scomposizione scritta come prodotto di fattori primi)
561.060.828 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3.907 × 3.989
La scomposizione in fattori primi scritta come prodotto di potenze di fattori primi (con esponenti): *
561.060.828 = 22 × 32 × 3.907 × 3.989
* Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza)..
I numeri primi sono i blocchi di costruzione di tutti i numeri tranne 0 e 1.
I numeri composti sono costituiti da numeri primi che vengono moltiplicati insieme.
C'è solo un numero primo che è un numero pari: 2. Tutti gli altri numeri primi sono numeri dispari.
La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero. Come si fa?
Impariamo facendo un esempio:
- Prendi il numero 220 e costruisci la sua scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi)
Abbiamo bisogno della lista dei primi numeri primi, ordinata da 2 fino a, diciamo, 20:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
I numeri primi sono gli elementi costitutivi dei numeri composti.
1. Inizia dividendo 220 per il numero primo più piccolo, 2:
220 : 2 = 110; il resto = 0 =>
220 è divisibile per 2 => 2 è un fattore primo di 220:
220 = 2 × 110.
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2. Dividi nuovamente il risultato dell'operazione precedente, 110, per 2:
110 : 2 = 55; il resto = 0 =>
110 è divisibile per 2 => 2 è un fattore primo di 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Dividere il risultato dell'operazione precedente, 55, per 2, di nuovo:
55 : 2 = 27 + 1; il resto = 1 =>
55 non è divisibile per 2.
4. Passa al numero primo successivo, 3. Dividi 55 per 3:
55 : 3 = 18 + 1; il resto = 1 =>
55 non è divisibile per 3.
5. Passa al numero primo successivo, 5. Dividi 55 per 5:
55 : 5 = 11; il resto = 0 =>
55 è divisibile per 5 => 5 è un fattore primo di 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Si noti che il fattore rimanente, 11, è un numero primo, quindi abbiamo già trovato tutti i fattori primi di 220.
Conclusione, la scomposizione in fattori primi di 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Questo può essere scritto in forma condensata, usando esponenti (potenze):
220 = 22 × 5 × 11.
Altre operazioni simili con fattori primi:
Numeri primi o composti? Gli ultimi 5 numeri per i quali è stata eseguita la scomposizione in fattori primi
Controlla se un numero è primo. Esegui la scomposizione in fattori primi
Scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi), è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Un numero primo è un numero naturale divisibile solo per 1 e per se stesso. 1 non è considerato un numero primo. Il numero composto ha almeno un divisore in più diverso da 1 e il numero stesso.
Numeri primi. Numeri composti. La scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) dei numeri composti
- Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
- Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di uno o più numeri primi, in modo unico, tranne che per l'ordine dei fattori primi.
- Il numero 1 non è considerato primo, quindi il numero primo più piccolo è 2.
- Se il numero 1 fosse considerato un numero primo, la scomposizione in fattori primi del numero 15 potrebbe essere scritta come: 15 = 3 × 5 oppure 15 = 1 × 3 × 5 - queste due rappresentazioni sarebbero considerate come diverse scomposizione in fattori primi di uguale numero, quindi il teorema di cui sopra non sarebbe stato più valido.
- I numeri naturali che dividono senza resto solo per 1 e se stessi sono detti numeri primi.
- Esempi di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ecc.
- Se un numero è primo, non può essere scomposto in altri fattori primi, è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ogni numero naturale è divisibile per 1 e per se stesso.
- Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un divisore diverso da 1 e il numero stesso.
- Un numero composto è anche qualsiasi numero naturale maggiore di 1 che non sia un numero primo.
- Esempi di numeri composti: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, ecc.
- Un numero primo non può essere scomposto in altri fattori primi. Invece, un numero composto può essere scomposto in fattori primi come mostrato di seguito:
- Esempio 1: 6 è divisibile per 6, 3, 2 e 1, quindi 6 non è un numero primo, è un numero composto. 6 può essere scritto come prodotto di numeri in diversi modi, come: 6 = 1 × 6, o 6 = 1 × 2 × 3 o 6 = 2 × 3. Ma la sua scomposizione in fattori primi, indipendentemente dall'ordine dei fattori, è sempre: 6 = 2 × 3.
- Esempio 2: 120 può essere scritto come prodotto di numeri in diversi modi, poiché 120 = 4 × 30 o 120 = 2 × 2 × 2 × 15 o 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. La sua scomposizione in fattori primi è sempre: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - l'ultima forma di scrittura è la forma condensata, con esponenti, della prima forma, quella più lunga.
- * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
- Perché è importante conoscere la scomposizione in fattori primi dei numeri?
- La scomposizione in fattori primi è utile quando si calcola il massimo comune divisore, mcd, dei numeri.
- L'MCD è necessario per ridurre (semplificare) le frazioni ai minimi termini.
- La scomposizione in fattori primi è utile quando si calcola il minimo comune multiplo, mcm, di numeri - questo è necessario quando si sommano o sottraggono frazioni, ad esempio...
- E gli esempi potrebbero continuare (divisibilità dei numeri, calcolo di tutti i divisori di un numero a partire dalla sua scomposizione in fattori primi, ecc.).
- Esempio di più numeri primi:
- 181 è divisibile solo per 181 e 1, quindi 181 è un numero primo.
- 2.341 è divisibile solo per 2.341 e 1, quindi 2.341 è un numero primo.
- 2.341 è divisibile solo per 2.341 e 1, quindi 2.341 è un numero primo.
- Questa è la lista di tutti i numeri primi, da 1 fino a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- I numeri primi sono usati come blocchi di base quando si costruisce la scomposizione in fattori primi dei numeri composti. Quindi potremmo dire che i numeri primi sono davvero i blocchi di base dei numeri composti.
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