109 è un numero primo? Potrebbe essere scomposto in fattori primi (fattorizzato in altri numeri primi) e scritto come prodotto di numeri primi o no?
Il numero 109 può essere scomposto in fattori primi? Può essere scritto come prodotto di numeri primi?
La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi. Esempio: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
Numero primo: un numero naturale divisibile (è diviso senza resto) solo per 1 e per se stesso. Un numero primo ha solo due divisori: 1 e il numero stesso. Esempi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Numero composto: un numero naturale che ha almeno un divisore diverso da 1 e da se stesso. Un numero composto ha almeno tre divisori. Un numero composto è anche un numero che non è un numero primo. Esempi: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
I numeri 0 e 1 non sono considerati né primi né composti.
109 non può essere scritto come prodotto di numeri primi. Come mai?
109 è un numero primo e non può essere scomposto in altri fattori primi.
109 può essere scritto come prodotto di numeri naturali solo come: 109 = 1 × 109
La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero. Come si fa?
Impariamo facendo un esempio: - Prendi il numero 220 e costruisci la sua scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi)
Abbiamo bisogno della lista dei primi numeri primi, ordinata da 2 fino a, diciamo, 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. I numeri primi sono gli elementi costitutivi dei numeri composti.
1. Inizia dividendo 220 per il numero primo più piccolo, 2: 220 : 2 = 110; il resto = 0 => 220 è divisibile per 2 => 2 è un fattore primo di 220: 220 = 2 × 110.
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2. Dividi nuovamente il risultato dell'operazione precedente, 110, per 2: 110 : 2 = 55; il resto = 0 => 110 è divisibile per 2 => 2 è un fattore primo di 110: 220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Dividere il risultato dell'operazione precedente, 55, per 2, di nuovo: 55 : 2 = 27 + 1; il resto = 1 => 55 non è divisibile per 2.
4. Passa al numero primo successivo, 3. Dividi 55 per 3: 55 : 3 = 18 + 1; il resto = 1 => 55 non è divisibile per 3.
5. Passa al numero primo successivo, 5. Dividi 55 per 5: 55 : 5 = 11; il resto = 0 => 55 è divisibile per 5 => 5 è un fattore primo di 55: 220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Si noti che il fattore rimanente, 11, è un numero primo, quindi abbiamo già trovato tutti i fattori primi di 220.
Conclusione, la scomposizione in fattori primi di 220: 220 = 2 × 2 × 5 × 11. Questo può essere scritto in forma condensata, usando esponenti (potenze): 220 = 22 × 5 × 11.
Numeri primi o composti? Gli ultimi 5 numeri per i quali è stata eseguita la scomposizione in fattori primi
Controlla se un numero è primo. Esegui la scomposizione in fattori primi
Scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi), è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Un numero primo è un numero naturale divisibile solo per 1 e per se stesso. 1 non è considerato un numero primo. Il numero composto ha almeno un divisore in più diverso da 1 e il numero stesso.
Numeri primi. Numeri composti. La scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) dei numeri composti
Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di uno o più numeri primi, in modo unico, tranne che per l'ordine dei fattori primi.
Il numero 1 non è considerato primo, quindi il numero primo più piccolo è 2.
Se il numero 1 fosse considerato un numero primo, la scomposizione in fattori primi del numero 15 potrebbe essere scritta come: 15 = 3 × 5 oppure 15 = 1 × 3 × 5 - queste due rappresentazioni sarebbero considerate come diverse scomposizione in fattori primi di uguale numero, quindi il teorema di cui sopra non sarebbe stato più valido.
I numeri naturali che dividono senza resto solo per 1 e se stessi sono detti numeri primi.
Esempi di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ecc.
Se un numero è primo, non può essere scomposto in altri fattori primi, è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ogni numero naturale è divisibile per 1 e per se stesso.
Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un divisore diverso da 1 e il numero stesso.
Un numero composto è anche qualsiasi numero naturale maggiore di 1 che non sia un numero primo.
Esempi di numeri composti: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, ecc.
Un numero primo non può essere scomposto in altri fattori primi. Invece, un numero composto può essere scomposto in fattori primi come mostrato di seguito:
Esempio 1: 6 è divisibile per 6, 3, 2 e 1, quindi 6 non è un numero primo, è un numero composto. 6 può essere scritto come prodotto di numeri in diversi modi, come: 6 = 1 × 6, o 6 = 1 × 2 × 3 o 6 = 2 × 3. Ma la sua scomposizione in fattori primi, indipendentemente dall'ordine dei fattori, è sempre: 6 = 2 × 3.
Esempio 2: 120 può essere scritto come prodotto di numeri in diversi modi, poiché 120 = 4 × 30 o 120 = 2 × 2 × 2 × 15 o 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. La sua scomposizione in fattori primi è sempre: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - l'ultima forma di scrittura è la forma condensata, con esponenti, della prima forma, quella più lunga.
* Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
Perché è importante conoscere la scomposizione in fattori primi dei numeri?
La scomposizione in fattori primi è utile quando si calcola il massimo comune divisore, mcd, dei numeri.
L'MCD è necessario per ridurre (semplificare) le frazioni ai minimi termini.
La scomposizione in fattori primi è utile quando si calcola il minimo comune multiplo, mcm, di numeri - questo è necessario quando si sommano o sottraggono frazioni, ad esempio...
E gli esempi potrebbero continuare (divisibilità dei numeri, calcolo di tutti i divisori di un numero a partire dalla sua scomposizione in fattori primi, ecc.).
Esempio di più numeri primi:
181 è divisibile solo per 181 e 1, quindi 181 è un numero primo.
2.341 è divisibile solo per 2.341 e 1, quindi 2.341 è un numero primo.
2.341 è divisibile solo per 2.341 e 1, quindi 2.341 è un numero primo.
Questa è la lista di tutti i numeri primi, da 1 fino a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
I numeri primi sono usati come blocchi di base quando si costruisce la scomposizione in fattori primi dei numeri composti. Quindi potremmo dire che i numeri primi sono davvero i blocchi di base dei numeri composti.