mcd (60.000; 9.328) = ? Massimo comune divisore

Calcola il massimo comune divisore, mcd (60.000; 9.328), usando la loro scomposizione in fattori primi, la divisibilità dei numeri o l'algoritmo di Euclide

Metodo 1. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi):

La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi

60.000 = 25 × 3 × 54
60.000 non è un numero primo ma composto.

9.328 = 24 × 11 × 53
9.328 non è un numero primo ma composto.

» Calcolatore online. Controlla se un numero è primo o meno. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) dei numeri composti

* I numeri naturali che sono divisibili solo per 1 e per se stessi sono detti numeri primi. Un numero primo ha esattamente due divisori: 1 e se stesso.
* Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un altro divisore di 1 e se stesso.


Calcola il massimo comune divisore:

Moltiplica tutti i fattori primi comuni, presi dai loro più piccoli esponenti.


Il massimo comune divisore,
mcd (60.000; 9.328) = 24 = 16
I due numeri hanno fattori primi comuni.
Scorrere verso il basso per il secondo metodo...

Metodo 2. L'algoritmo di Euclide:

Questo algoritmo prevede il processo di divisione dei numeri e calcolo dei resti.

'a' e 'b' sono i due numeri naturali, 'a' >= 'b'.

Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto dell'operazione, 'r'.

Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il mcd di 'a' e 'b'.

Altrimenti: sostituire ('a' di 'b') e ('b' di 'r'). Torna al passaggio sopra.

» L'algoritmo di Euclide



Passaggio 1. Dividi il numero più grande per quello più piccolo:
60.000 : 9.328 = 6 + 4.032
Passaggio 2. Dividi il numero più piccolo per il resto dell'operazione precedente:
9.328 : 4.032 = 2 + 1.264
Passaggio 3. Dividi il resto del passaggio 1 per il resto del passaggio 2:
4.032 : 1.264 = 3 + 240
Passaggio 4. Dividi il resto del passaggio 2 per il resto del passaggio 3:
1.264 : 240 = 5 + 64
Passaggio 5. Dividi il resto del passaggio 3 per il resto del passaggio 4:
240 : 64 = 3 + 48
Passaggio 6. Dividi il resto del passaggio 4 per il resto del passaggio 5:
64 : 48 = 1 + 16
Passaggio 7. Dividi il resto del passaggio 5 per il resto del passaggio 6:
48 : 16 = 3 + 0
A questo punto, il resto è zero, quindi ci fermiamo:
16 è il numero che stavamo cercando, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.


Il massimo comune divisore:
mcd (60.000; 9.328) = 16 = 24
I due numeri hanno fattori primi comuni

Perché dobbiamo calcolare il massimo comune divisore?

Una volta calcolato il massimo comune divisore del numeratore e il denominatore di una frazione, diventa molto più facile ridurre (semplificare) la frazione ai termini minimi (il più piccolo numeratore e denominatore possibili, numeri primi tra loro).


Altre operazioni simili con il massimo comune divisore:

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Il massimo comune divisore, gcd. Cos'è e come calcolarlo.

  • Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
  • Supponiamo che il numero "t" divida il numero "a" ( = quando si divide il numero "a" per "t", il resto è zero).
  • Quando osserviamo la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "t", troviamo che:
  • 1) tutti i fattori primi di "t" sono anche fattori primi di "a"
  • e
  • 2) gli esponenti dei fattori primi di "t" sono uguali o minori degli esponenti dei fattori primi di "a" (vedi * Nota sotto)
  • Ad esempio, il numero 12 è un divisore del numero 60:
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
  • Se il numero "t" è un divisore comune dei numeri "a" e "b", allora:
  • 1) "t" ha solo i fattori primi che sono coinvolti anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "b".
  • e
  • 2) ogni fattore primo di "t" ha gli esponenti più piccoli rispetto ai fattori primi dei numeri "a" e "b".
  • Ad esempio, il numero 12 è il comune divisore dei numeri 48 e 360. Di seguito è riportata la loro fattorizzazione principale:
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Puoi vedere che il numero 12 ha solo i fattori primi che si verificano anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) dei numeri 48 e 360.
  • Puoi vedere sopra che i numeri 48 e 360 contengono diversi divisori comuni: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Di questi, 24 è il massimo comune divisore (mcd) di 48 e 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, il massimo comune divisore dei numeri 48 e 360, è calcolato come prodotto di tutti i fattori primi comuni dei due numeri, presi dagli esponenti più piccoli (potenze).
  • Se due numeri "a" e "b" non hanno altro fattore comune che 1, mcd (a, b) = 1, allora i numeri "a" e "b" sono chiamati numeri primi tra loro (numeri coprimi, numeri relativamente primi).
  • Se "a" e "b" non sono numeri primi tra loro, allora ogni comun divisore di "a" e "b" è un divisore del massimo comune divisore di "a" e "b".
  • Facciamo un esempio su come calcolare il massimo comune divisore, mcd, dei seguenti numeri:
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • E un altro esempio:
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • E un altro esempio:
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • mcd (90, 27, 22) = 1 - I tre numeri non hanno fattori primi in comune, sono primi tra loro.