Calcola il massimo comune divisore dei numeri, mcd:

Metodo 1: Esegui la scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) dei numeri, quindi moltiplica tutti i fattori primi comuni per i loro esponenti più piccoli. Se non ci sono fattori primi comuni, allora mcd è uguale a 1.

Metodo 2: Algoritmo di Euclide.

Metodo 3: La divisibilità dei numeri.

• Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
• Supponiamo che il numero "t" divida il numero "a" ( = quando si divide il numero "a" per "t", il resto è zero).
• Quando osserviamo la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "t", troviamo che:
• 1) tutti i fattori primi di "t" sono anche fattori primi di "a"
• e
• 2) gli esponenti dei fattori primi di "t" sono uguali o minori degli esponenti dei fattori primi di "a" (vedi * Nota sotto)

• Ad esempio, il numero 12 è un divisore del numero 60:
• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
• * Nota: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 2³ rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 2³ è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).

• Se il numero "t" è un divisore comune dei numeri "a" e "b", allora:
• 1) "t" ha solo i fattori primi che sono coinvolti anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "b".
• e
• 2) ogni fattore primo di "t" ha gli esponenti più piccoli rispetto ai fattori primi dei numeri "a" e "b".

• Ad esempio, il numero 12 è il comune divisore dei numeri 48 e 360. Di seguito è riportata la loro fattorizzazione principale:
• 12 = 2² × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• Puoi vedere che il numero 12 ha solo i fattori primi che si verificano anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) dei numeri 48 e 360.
• Puoi vedere sopra che i numeri 48 e 360 contengono diversi divisori comuni: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Di questi, 24 è il massimo comune divisore (mcd) di 48 e 360.
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• 24, il massimo comune divisore dei numeri 48 e 360, è calcolato come prodotto di tutti i fattori primi comuni dei due numeri, presi dagli esponenti più piccoli (potenze).

• Se due numeri "a" e "b" non hanno altro fattore comune che 1, mcd (a, b) = 1, allora i numeri "a" e "b" sono chiamati numeri primi tra loro (numeri coprimi, numeri relativamente primi).
• Se "a" e "b" non sono numeri primi tra loro, allora ogni comun divisore di "a" e "b" è un divisore del massimo comune divisore di "a" e "b".

• Facciamo un esempio su come calcolare il massimo comune divisore, mcd, dei seguenti numeri:
• 1.260 = 2² × 3²
• 3.024 = 2⁴ × 3² × 7
• 5.544 = 2³ × 3² × 7 × 11
• mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 2² × 3² = 252

• E un altro esempio:
• 900 = 2² × 3² × 5²
• 270 = 2 × 3³ × 5
• 210 = 2 × 3 × 5 × 7
• mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30

• E un altro esempio:
• 90 = 2 × 3² × 5
• 27 = 3³
• 22 = 2 × 11
• mcd (90, 27, 22) = 1 - I tre numeri non hanno fattori primi in comune, sono primi tra loro.

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