mcd (5.744; 24) = ? Calcola il massimo comune divisore dei numeri, MCD, usando il calcolatore online

Calcoliamo il massimo comune divisore (5.744; 24) = ? Metodo 1. La scomposizione dei numeri in fattori primi. Metodo 2. Algoritmo di Euclide.

Metodo 1. La scomposizione dei numeri in fattori primi:

La scomposizione di un numero in Fattori primi - è trovare i numeri primi che si moltiplicano insieme per formare quel numero.


5.744 = 24 × 359;
5.744 non è un numero primo, è un numero composto;


24 = 23 × 3;
24 non è un numero primo, è un numero composto;


* I numeri che si dividono solo con loro stessi e con 1, si chiamano numeri primi. Un numero primo ha solo due divisori: 1 e se stesso.
* Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un altro divisore oltre a 1 e a se stesso.


Calcoliamo il massimo comune divisore:

Prendete tutti i fattori primi comuni, dalle potenze più basse.


mcd (5.744; 24) = 23



mcd (5.744; 24) = 23 = 8;
I numeri hanno fattori primi comuni.


Metodo 2. Algoritmo di Euclide:

Questo algoritmo prevede l'operazione di divisione e calcolo dei resti.


'a' e 'b' sono i due numeri interi positivi, 'a' >= 'b'.


Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto, 'r'.


Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il MCD di 'a' e 'b'.


Altrimenti: Sostituisci ('a' con 'b') e ('b' con 'r'). Torna al passaggio della divisione, sopra.



L'operazione 1. Divido il numero più grande con il numero più piccolo:
5.744 : 24 = 239 + 8;
L'operazione 2. Divido il numero più piccolo al resto dell'operazione di sopra:
24 : 8 = 3 + 0;
In questo momento, non avendo più resto, ci fermiamo:
8 è il numero cercato, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.


Massimo comune divisore:
mcd (5.744; 24) = 8

Perché la risposta è un divisore dei valori 'a' e 'b' iniziali?

Nota: 'a' : 'b' = 'q' + 'r' è equivalente all'equazione: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', dove 'q' è il quoziente dell'operazione.


Quando il valore finale di 'r' = 0, il valore finale di 'b' è un divisore del valore finale di 'a', poiché 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Torna indietro in ciascuno dei passaggi precedenti e analizza ciascuna equazione, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', e nota che ad ogni passaggio il valore finale di 'b' è un divisore di ogni valore di 'r' e di ogni valore di 'b' e quindi è un divisore di ogni valore di 'a'. Quindi l'ultimo valore di 'b', che è l'ultimo resto diverso da zero, è un divisore dei valori iniziali di 'a' e 'b'.


Perché la risposta è uguale al MCD?

Guarda tutte le equazioni: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. Come abbiamo visto sopra, il valore finale di 'b' è un divisore di tutti i valori di 'a', 'b' e 'r'.


Quindi il valore finale di 'b' deve essere anche un divisore dell'ultimo valore di 'r', quello che è diverso da zero. E il valore finale di 'b' non può essere maggiore dell'ultimo valore di 'r'. Poiché il valore finale di 'b' è uguale all'ultimo valore di 'r', quindi il valore finale di 'b' è il più grande divisore dei valori iniziali di ('a' e 'b'). E per definizione è chiamato il massimo comune divisore dei numeri.


mcd (5.744; 24) = 8 = 23;

Risposta finale:
Massimo comune divisore
mcd (5.744; 24) = 8 = 23;
I numeri hanno fattori primi comuni.

Perché abbiamo bisogno del massimo comune divisore?

Quando conosci il MCD del numeratore e il denominatore di una frazione diventa più facile semplificarlo ai minimi termini.



Altre operazioni di questo tipo:

Calcolatore: calcola mcd, massimo comune divisore

Gli ultimi massimi comuni divisori calcolati

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mcd, vedi altro...

Teoria: massimo comune divisore MCD

Se "t" è un divisore di "a", allora nella scomposizione in fattori di "t" appaiono soltanto numeri primi che appaiono anche nella scomposizione di "a" e che possono avere gli esponenti al massimo uguali a quelli che escono dalla scomposizione di "a".

Ad esempio, 12 è il divisore di 60:
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5

Se "t" è il divisore comune di "a" e "b", allora "t" ha solo fattori primi che intercorrono sia in "a" che in "b", ogni fattore al potere più piccolo.

Ad esempio, 12 è il divisore comune di 48 e 360. Dalla scomposizione in fattori primi:
12 = 22 × 3
48 = 24 × 3
360 = 23 × 32 × 5
Si nota che 48 e 360 hanno più divisori comuni: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Tra loro, 24 e il massimo comune divisore (MCD) di 48 e 360.

Se due numeri, "a" e "b", non hanno un'altro divisore comune diverso da 1, MCD (a, b) = 1, i numeri "a" e "b" si chiamano primi tra di loro.

Se "a" e "b" non sono primi tra di loro, allora ogni divisore comune di "a" e "b" è un divisore del più grande divisore comune di "a" e "b", perchè il massimo comune divisore è il prodotto di tutti i fattori primi che intercorrono in "a" e "b", alla potenza minore. Questa procedura è la base per trovare il massimo comune divisore di più numeri, come si può vedere dall'esempio sotto.
Esempio di determinazione del MCD:
1260 = 22 × 32
3024 = 24 × 32 × 7
5544 = 23 × 32 × 7 × 11
mcd(1260, 3024, 5544) = 22 × 32 = 252


Che cosa è un numero primo?

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I numeri primi fino a 1.000

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