mcd (240; 288) = ? Calcola il massimo comune divisore dei numeri, mcd, con due metodi: 1) La scomposizione in fattori primi e 2) L'algoritmo di Euclide
mcd (240; 288) = ?
Metodo 1. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi):
La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi
240 = 24 × 3 × 5 240 non è un numero primo ma composto.
288 = 25 × 32 288 non è un numero primo ma composto.
* I numeri naturali che sono divisibili solo per 1 e per se stessi sono detti numeri primi. Un numero primo ha esattamente due divisori: 1 e se stesso. * Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un altro divisore di 1 e se stesso.
Passaggio 1. Dividi il numero più grande per quello più piccolo: 288 : 240 = 1 + 48 Passaggio 2. Dividi il numero più piccolo per il resto dell'operazione precedente: 240 : 48 = 5 + 0 A questo punto, il resto è zero, quindi ci fermiamo: 48 è il numero che stavamo cercando, l'ultimo resto diverso da zero. Questo è il massimo comune divisore.
Il massimo comune divisore: mcd (240; 288) = 48 = 24 × 3
La risposta finale:
Il massimo comune divisore, mcd (240; 288) = 48 = 24 × 3 I due numeri hanno fattori primi comuni.
Perché dobbiamo calcolare il massimo comune divisore?
Una volta calcolato il massimo comune divisore del numeratore e il denominatore di una frazione, diventa molto più facile ridurre (semplificare) la frazione ai termini minimi (il più piccolo numeratore e denominatore possibili, numeri primi tra loro).
Il massimo comune divisore, mcd: gli ultimi 5 valori calcolati
Calcola il massimo comune divisore dei numeri, mcd:
Metodo 1: Esegui la scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) dei numeri, quindi moltiplica tutti i fattori primi comuni per i loro esponenti più piccoli. Se non ci sono fattori primi comuni, allora mcd è uguale a 1.
Metodo 2: Algoritmo di Euclide.
Metodo 3: La divisibilità dei numeri.
Il massimo comune divisore, gcd. Cos'è e come calcolarlo.
Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Supponiamo che il numero "t" divida il numero "a" ( = quando si divide il numero "a" per "t", il resto è zero).
Quando osserviamo la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "t", troviamo che:
1) tutti i fattori primi di "t" sono anche fattori primi di "a"
e
2) gli esponenti dei fattori primi di "t" sono uguali o minori degli esponenti dei fattori primi di "a" (vedi * Nota sotto)
Ad esempio, il numero 12 è un divisore del numero 60:
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
* Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
Se il numero "t" è un divisore comune dei numeri "a" e "b", allora:
1) "t" ha solo i fattori primi che sono coinvolti anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "b".
e
2) ogni fattore primo di "t" ha gli esponenti più piccoli rispetto ai fattori primi dei numeri "a" e "b".
Ad esempio, il numero 12 è il comune divisore dei numeri 48 e 360. Di seguito è riportata la loro fattorizzazione principale:
12 = 22 × 3
48 = 24 × 3
360 = 23 × 32 × 5
Puoi vedere che il numero 12 ha solo i fattori primi che si verificano anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) dei numeri 48 e 360.
Puoi vedere sopra che i numeri 48 e 360 contengono diversi divisori comuni: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Di questi, 24 è il massimo comune divisore (mcd) di 48 e 360.
24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
48 = 24 × 3
360 = 23 × 32 × 5
24, il massimo comune divisore dei numeri 48 e 360, è calcolato come prodotto di tutti i fattori primi comuni dei due numeri, presi dagli esponenti più piccoli (potenze).
Se due numeri "a" e "b" non hanno altro fattore comune che 1, mcd (a, b) = 1, allora i numeri "a" e "b" sono chiamati numeri primi tra loro (numeri coprimi, numeri relativamente primi).
Se "a" e "b" non sono numeri primi tra loro, allora ogni comun divisore di "a" e "b" è un divisore del massimo comune divisore di "a" e "b".
Facciamo un esempio su come calcolare il massimo comune divisore, mcd, dei seguenti numeri:
1.260 = 22 × 32
3.024 = 24 × 32 × 7
5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
E un altro esempio:
900 = 22 × 32 × 52
270 = 2 × 33 × 5
210 = 2 × 3 × 5 × 7
mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
E un altro esempio:
90 = 2 × 32 × 5
27 = 33
22 = 2 × 11
mcd (90, 27, 22) = 1 - I tre numeri non hanno fattori primi in comune, sono primi tra loro.