Calcola il MCD, il massimo comune divisore dei numeri (2.079; 50.601), calcolatrice online
Calcola il massimo comune divisore, mcd (2.079; 50.601), usando la scomposizione in fattori primi, la divisibilità dei numeri o l'algoritmo di Euclide
Il massimo comun divisore e come si calcola
Primi passi ed esempi
- 1. Fattori di un numero:
- I fattori di un numero sono i numeri che vengono moltiplicati insieme per ottenere quel numero.
- Esempi: 2 × 3 × 4 = 24; 4 × 9 = 36.
- In questi casi diciamo che 2, 3 e 4 sono fattori di 24. E 4 e 9 sono fattori di 36.
- 2. Divisibilità:
- Un numero può essere diviso per uno qualsiasi dei suoi fattori senza resto.
- In questo caso diciamo che il numero è divisibile per i suoi fattori.
- I numeri negli esempi sopra sono divisibili per i loro fattori:
- 24 è divisibile per 2, 3 e 4. E 36 è divisibile per 4 e 9.
- 3. Fattori comuni di più numeri:
- I fattori che sono comuni a più numeri sono chiamati fattori comuni.
- Nei nostri esempi 4 è sia un fattore di 24 che di 36.
- 4. Il massimo comune divisore, MCD, di diversi numeri
- Il massimo comune divisore, MCD, è il più grande di tutti i fattori comuni di quei diversi numeri.
- 5. Come si calcola il massimo comune divisore? Fase 1.
- Nei nostri esempi potremmo essere tentati di dire che 4 è il massimo comune divisore di 24 e 36. Ma, aspetta. Proviamo a scomporre quei fattori in altri che siano il più piccoli possibile.
- 24 potrebbe essere scritto come: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
- 36 potrebbe anche essere scritto come: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
- Nel nostro esempio, 2 e 3 non possono essere ulteriormente scomposti in altri numeri più piccoli.
- 6. Numeri primi:
- 2 e 3 non possono essere scomposti in altri numeri più piccoli perché sono numeri primi. Questa è la vera definizione dei numeri primi:
- Un numero primo non ha fattori diversi da 1 e se stesso poiché non può essere ulteriormente scomposto in altri numeri più piccoli.
- Esempi di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 e così via, questa è una lista infinita.
- 7. Come si calcola il massimo comun divisore? Fase 2.
- Abbiamo visto che è una buona idea scomporre i numeri in fattori il più piccoli possibile, scrivendoli come prodotto di fattori primi. Questa è la definizione della scomposizione in fattori primi di un numero.
- La scomposizione in fattori primi di 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
- La scomposizione in fattori primi di 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
- Per calcolare il MCD basta scegliere tutti i fattori primi comuni di entrambi i numeri e moltiplicarli:
- MCD (24 e 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.
Calcola il massimo comune divisore
mcd (2.079; 50.601) = ?
Metodo 1. La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi):
La scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di un numero: procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi
2.079 = 33 × 7 × 11
2.079 non è un numero primo ma composto.
50.601 = 3 × 101 × 167
50.601 non è un numero primo ma composto.
* I numeri naturali che sono divisibili solo per 1 e per se stessi sono detti numeri primi. Un numero primo ha esattamente due divisori: 1 e se stesso.
* Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un altro divisore di 1 e se stesso.
Calcola il massimo comune divisore:
Moltiplica tutti i fattori primi comuni, presi dai loro più piccoli esponenti.
Il massimo comune divisore,
mcd (2.079; 50.601) = 3
I due numeri hanno fattori primi comuni.
Scorrere verso il basso per il secondo metodo...
Metodo 2. L'algoritmo di Euclide:
Questo algoritmo prevede il processo di divisione dei numeri e calcolo dei resti.
'a' e 'b' sono i due numeri naturali, 'a' >= 'b'.
Dividi 'a' per 'b' e ottieni il resto dell'operazione, 'r'.
Se 'r' = 0, STOP. 'b' = il mcd di 'a' e 'b'.
Altrimenti: sostituire ('a' di 'b') e ('b' di 'r'). Torna al passaggio sopra.
Passaggio 1. Dividi il numero più grande per quello più piccolo:
50.601 : 2.079 = 24 + 705
Passaggio 2. Dividi il numero più piccolo per il resto dell'operazione precedente:
2.079 : 705 = 2 + 669
Passaggio 3. Dividi il resto del passaggio 1 per il resto del passaggio 2:
705 : 669 = 1 + 36
Passaggio 4. Dividi il resto del passaggio 2 per il resto del passaggio 3:
669 : 36 = 18 + 21
Passaggio 5. Dividi il resto del passaggio 3 per il resto del passaggio 4:
36 : 21 = 1 + 15
Passaggio 6. Dividi il resto del passaggio 4 per il resto del passaggio 5:
21 : 15 = 1 + 6
Passaggio 7. Dividi il resto del passaggio 5 per il resto del passaggio 6:
15 : 6 = 2 + 3
Passaggio 8. Dividi il resto del passaggio 6 per il resto del passaggio 7:
6 : 3 = 2 + 0
A questo punto, il resto è zero, quindi ci fermiamo:
3 è il numero che stavamo cercando, l'ultimo resto diverso da zero.
Questo è il massimo comune divisore.
Il massimo comune divisore:
mcd (2.079; 50.601) = 3
I due numeri hanno fattori primi comuni
Perché dobbiamo calcolare il massimo comune divisore?
Una volta calcolato il massimo comune divisore del numeratore e il denominatore di una frazione, diventa molto più facile ridurre (semplificare) la frazione ai termini minimi (il più piccolo numeratore e denominatore possibili, numeri primi tra loro).
Altre operazioni simili con il massimo comune divisore: