Il massimo comune divisore, gcd. Cos'è e come calcolarlo.
- Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
- Supponiamo che il numero "t" divida il numero "a" ( = quando si divide il numero "a" per "t", il resto è zero).
- Quando osserviamo la scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "t", troviamo che:
- 1) tutti i fattori primi di "t" sono anche fattori primi di "a"
- e
- 2) gli esponenti dei fattori primi di "t" sono uguali o minori degli esponenti dei fattori primi di "a" (vedi * Nota sotto)
- Ad esempio, il numero 12 è un divisore del numero 60:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
- * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
- Se il numero "t" è un divisore comune dei numeri "a" e "b", allora:
- 1) "t" ha solo i fattori primi che sono coinvolti anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) di "a" e "b".
- e
- 2) ogni fattore primo di "t" ha gli esponenti più piccoli rispetto ai fattori primi dei numeri "a" e "b".
- Ad esempio, il numero 12 è il comune divisore dei numeri 48 e 360. Di seguito è riportata la loro fattorizzazione principale:
- 12 = 22 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- Puoi vedere che il numero 12 ha solo i fattori primi che si verificano anche nella scomposizione in fattori primi (la fattorizzazione in numeri primi) dei numeri 48 e 360.
- Puoi vedere sopra che i numeri 48 e 360 contengono diversi divisori comuni: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Di questi, 24 è il massimo comune divisore (mcd) di 48 e 360.
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- 24, il massimo comune divisore dei numeri 48 e 360, è calcolato come prodotto di tutti i fattori primi comuni dei due numeri, presi dagli esponenti più piccoli (potenze).
- Se due numeri "a" e "b" non hanno altro fattore comune che 1, mcd (a, b) = 1, allora i numeri "a" e "b" sono chiamati numeri primi tra loro (numeri coprimi, numeri relativamente primi).
- Se "a" e "b" non sono numeri primi tra loro, allora ogni comun divisore di "a" e "b" è un divisore del massimo comune divisore di "a" e "b".
- Facciamo un esempio su come calcolare il massimo comune divisore, mcd, dei seguenti numeri:
- 1.260 = 22 × 32
- 3.024 = 24 × 32 × 7
- 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
- mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
- E un altro esempio:
- 900 = 22 × 32 × 52
- 270 = 2 × 33 × 5
- 210 = 2 × 3 × 5 × 7
- mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
- E un altro esempio:
- 90 = 2 × 32 × 5
- 27 = 33
- 22 = 2 × 11
- mcd (90, 27, 22) = 1 - I tre numeri non hanno fattori primi in comune, sono primi tra loro.