I numeri naturali, maggiori di 1, che dividono senza resto solo per i numeri 1 e per se stessi sono detti numeri primi.
Qualsiasi numero primo, "m", ha solo due divisori, il numero stesso, "m", e il numero 1:
m = 1 × m
Esempi di numeri primi:
1 non è considerato un numero primo.
Il numero primo più piccolo è 2 e quindi l'elenco dei numeri primi inizia con il numero 2:
2 è divisibile solo per 2 e 1, quindi 2 è un numero primo.
3 è divisibile solo per 3 e 1, quindi 3 è un numero primo.
5 è divisibile solo per 5 e 1, quindi 5 è un numero primo.
7 è divisibile solo per 7 e 1, quindi 7 è un numero primo.
11 è divisibile solo per 11 e 1, quindi 11 è un numero primo.
...
2 è l'unico numero pari che è un numero primo. Tutti gli altri numeri primi sono numeri dispari.
2. Il teorema fondamentale dell'aritmetica
Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di uno o più numeri primi, in modo unico, tranne che per l'ordine dei fattori primi.
Allora perché il numero 1 non è considerato un numero primo? Se il numero 1 fosse considerato un numero primo, la scomposizione in fattori primi del numero 6 potrebbe essere scritta come: 6 = 2 × 3 oppure 6 = 1 × 2 × 3 - queste due rappresentazioni sarebbero considerate come diverse scomposizione in fattori primi di uguale numero, quindi il teorema di cui sopra non sarebbe stato più valido.
3. Numeri composti
Un numero composto è un numero naturale maggiore di 1 che ha almeno un divisore diverso da 1 e il numero stesso.
Un numero composto è anche qualsiasi numero naturale maggiore di 1 che non sia un numero primo.
Esempi di numeri composti:
4 è divisibile per 4, 2 e 1, quindi 4 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 4 = 2 × 2 = 22
Nota 1: La seconda parte della scomposizione in fattori primi di 4 è scritta usando le potenze (esponenti) ed è chiamata scrittura condensata della prima parte della scomposizione in fattori primi.
Nota 2: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
6 è divisibile per 6, 3, 2 e 1, quindi 6 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 6 = 2 × 3
8 è divisibile per 8, 4, 2 e 1, quindi 8 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 8 = 2 × 2 × 2 = 23
9 è divisibile per 9, 3 e 1, quindi 9 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 9 = 3 × 3 = 32
10 è divisibile per 10, 5, 2 e 1, quindi 10 non è un numero primo. La scomposizione in fattori primi di questo numero è: 10 = 2 × 5
12 è divisibile per 12, 6, 4, 3, 2 e 1, quindi 12 non è un numero primo. La scomposizione in fattori primi di questo numero è: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
Riassunto:
I numeri composti sono tutti i numeri naturali maggiori di 1 che non sono numeri primi.
Ogni numero composto può essere scritto come prodotto di almeno due numeri primi.
Potremmo dire che i numeri primi sono gli elementi costitutivi di base di tutti i numeri composti.
4. Tutti i numeri composti, fino a 200:
Come accennato in precedenza, il numero primo più piccolo non è 1, ma 2. Il numero 1 non è considerato un numero primo.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127,
131, 137, 139, 149, 151, 157,
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Un'ultima nota sui numeri primi:
EUCLIDE (300 a.C.) dimostrò che come l'insieme dei numeri naturali è infinito, anche l'insieme dei numeri primi è infinito, senza numero primo più grande. Lo stesso vale anche per i numeri composti.
Non esiste una formula semplice nota che distingua tutti i numeri composti da quelli primi.