Cos'è un numero primo? Definizione, esempi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. I primi 200 numeri primi
1. Numeri primi
- I numeri naturali, maggiori di 1, che dividono senza resto solo per i numeri 1 e per se stessi sono detti numeri primi.
- Qualsiasi numero primo, "m", ha solo due divisori, il numero stesso, "m", e il numero 1:
- m = 1 × m
- Esempi di numeri primi:
- 1 non è considerato un numero primo.
- Il numero primo più piccolo è 2 e quindi l'elenco dei numeri primi inizia con il numero 2:
- 2 è divisibile solo per 2 e 1, quindi 2 è un numero primo.
- 3 è divisibile solo per 3 e 1, quindi 3 è un numero primo.
- 5 è divisibile solo per 5 e 1, quindi 5 è un numero primo.
- 7 è divisibile solo per 7 e 1, quindi 7 è un numero primo.
- 11 è divisibile solo per 11 e 1, quindi 11 è un numero primo.
- ...
- 2 è l'unico numero pari che è un numero primo. Tutti gli altri numeri primi sono numeri dispari.
2. Il teorema fondamentale dell'aritmetica
- Scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi.
- Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di uno o più numeri primi, in modo unico, tranne che per l'ordine dei fattori primi.
- Allora perché il numero 1 non è considerato un numero primo? Se il numero 1 fosse considerato un numero primo, la scomposizione in fattori primi del numero 6 potrebbe essere scritta come: 6 = 2 × 3 oppure 6 = 1 × 2 × 3 - queste due rappresentazioni sarebbero considerate come diverse scomposizione in fattori primi di uguale numero, quindi il teorema di cui sopra non sarebbe stato più valido.
3. Numeri composti
- Un numero composto è un numero naturale maggiore di 1 che ha almeno un divisore diverso da 1 e il numero stesso.
- Un numero composto è anche qualsiasi numero naturale maggiore di 1 che non sia un numero primo.
- Esempi di numeri composti:
- 4 è divisibile per 4, 2 e 1, quindi 4 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 4 = 2 × 2 = 22
- Nota 1: La seconda parte della scomposizione in fattori primi di 4 è scritta usando le potenze (esponenti) ed è chiamata scrittura condensata della prima parte della scomposizione in fattori primi.
- Nota 2: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
- 6 è divisibile per 6, 3, 2 e 1, quindi 6 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 6 = 2 × 3
- 8 è divisibile per 8, 4, 2 e 1, quindi 8 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 8 = 2 × 2 × 2 = 23
- 9 è divisibile per 9, 3 e 1, quindi 9 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi è: 9 = 3 × 3 = 32
- 10 è divisibile per 10, 5, 2 e 1, quindi 10 non è un numero primo. La scomposizione in fattori primi di questo numero è: 10 = 2 × 5
- 12 è divisibile per 12, 6, 4, 3, 2 e 1, quindi 12 non è un numero primo. La scomposizione in fattori primi di questo numero è: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- Riassunto:
- I numeri composti sono tutti i numeri naturali maggiori di 1 che non sono numeri primi.
- Ogni numero composto può essere scritto come prodotto di almeno due numeri primi.
- Potremmo dire che i numeri primi sono gli elementi costitutivi di base di tutti i numeri composti.
4. Tutti i numeri composti, fino a 200:
- Come accennato in precedenza, il numero primo più piccolo non è 1, ma 2. Il numero 1 non è considerato un numero primo.
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
- 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
- 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
- 101, 103, 107, 109, 113, 127,
- 131, 137, 139, 149, 151, 157,
- 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
- Un'ultima nota sui numeri primi:
- EUCLIDE (300 a.C.) dimostrò che come l'insieme dei numeri naturali è infinito, anche l'insieme dei numeri primi è infinito, senza numero primo più grande. Lo stesso vale anche per i numeri composti.
- Non esiste una formula semplice nota che distingua tutti i numeri composti da quelli primi.
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