Le ultime 3 frazioni che sono state ridotte (semplificate) ai loro minimi termini (alla loro forma equivalente più semplice, al numeratore e denominatore più piccoli possibili, primi tra loro)
1. Numeri primi. 2. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. 3. Numeri composti. 4. Osservazioni
1. Numeri primi
Un numero primo è un numero naturale, maggiore di 1, che sta dividendo senza resto solo per se stesso e per il numero 1.
Ogni numero primo "m" ha solo due divisori: il numero stesso, "m", e il numero 1.
Esempi di numeri primi:
1 non è considerato un numero primo, quindi il numero primo più piccolo è 2 (l'elenco dei numeri primi inizia con il numero 2).
2 è divisibile solo per 2 e 1, quindi 2 è un numero primo.
3 è divisibile solo per 3 e 1, quindi 3 è un numero primo.
5 è divisibile solo per 5 e 1, quindi 5 è un numero primo.
13 è divisibile solo per 13 e 1, quindi 13 è un numero primo.
2. Il teorema fondamentale dell'aritmetica
Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice che ogni numero naturale maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di uno o più numeri primi in modo unico, tranne che per l'ordine dei fattori primi.
Perché 1 non è considerato un numero primo? Se 1 fosse considerato un numero primo, la scomposizione in fattori primi del numero 15, ad esempio, potrebbe essere: 15 = 3 × 5 o 15 = 1 × 3 × 5. Queste due rappresentazioni sarebbero state considerate due diverse fattorizzazioni in numeri primi dello stesso numero, 15, quindi l'affermazione del teorema fondamentale non sarebbe più vera.
3. Numeri composti
Un numero composto è un numero naturale che ha almeno un divisore positivo diverso da 1 e il numero stesso.
Un numero composto è anche qualsiasi numero maggiore di 1 che non sia un numero primo.
Esempi di numeri composti:
4 è divisibile per 4, 2 e 1, quindi 4 non è un numero primo, è un numero composto. La scomposizione in fattori primi di 4 = 2 × 2 = 22
Prima Nota: La seconda parte della fattorizzazione in numeri primi di 4 è scritta usando potenze ed esponenti ed è chiamata scrittura condensata.
Seconda Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Il simbolo 23 rappresenta l'operazione di elevamento a potenza. Diciamo 2 alla 3, o 2 elevato alla terza potenza. In questo esempio, 3 è l'esponente e 2 è la base. L'esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa. 23 è la potenza e 8 è il valore della potenza (il risultato dell'operazione di elevamento a potenza).
6 è divisibile per 6, 3, 2 e 1, quindi 6 non è un numero primo, è un numero composto. La scomposizione in fattori primi di 6 = 2 × 3
8 è divisibile per 8, 4, 2 e 1, quindi 8 non è un numero primo, è un numero composto. La scomposizione in fattori primi è 8 = 23
9 è divisibile per 9, 3 e 1, quindi 9 non è un numero primo, è un numero composto. La sua scomposizione in fattori primi: 9 = 32
4. Osservazioni sui numeri primi
L'elenco dei primi numeri primi, fino a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
I numeri primi sono gli elementi costitutivi di base di tutti i numeri, tenendo in considerazione che ogni numero può essere scritto come prodotto di uno o più numeri primi. Ogni numero composto può essere scritto come prodotto di almeno due numeri primi.
EUCLIDE (300 a.C.) dimostrò che come l'insieme dei numeri naturali o interi è infinito, anche l'insieme dei numeri primi è infinito, senza il numero primo più grande.
Non esiste una formula semplice nota che distingua tutti i numeri primi da quelli composti.